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第３回　地球の概観：　重力とアイソスタシー

配付プリント等

• 　ニュートン（Newton：1643〜1727）は物質間に働く力についての法則性を明らかにした。その力は万有引力（＝引力）（Gravitation＝Universal Gravitation）と呼ばれる。引力は物質の質量（Mass）とそれらの間の距離（Distance）とで表わされる。つまり、２つの物質が存在すれば、それらの間の引力は、それらの質量の積に比例し、それらの間の距離の二乗に反比例する^*1。例えば、地球と地球上に存在するある物体の間における引力を考えると、それらの質量の積（現実的には地球の質量が圧倒的に大きいため、地球の質量のみを考える）に比例し、それらの距離（現実的にはほぼ地球半径）の二乗に反比例する、内側に働く力である。また、地球は自転（Rotation）しているために地球上では遠心力（Centrifugal Force）も生じている^*2。遠心力は回転軸（＝自転軸または地軸）に対して垂直方向の外側に働くが、回転軸上では0である。つまり、北極と南極付近（Polar Region）では小さく、赤道（Equator）付近では大きい。これらの引力（Gravitation）と遠心力（Centrifugal force）の合力を重力（Gravity）と呼んでいる。実際には引力の方が非常に大きいため、重力≒引力とみなしても良い場合が多いが、重力＝引力＋遠心力（ただし、引力と遠心力の力の向きはほぼ逆であるので、引力−遠心力である）であるため、赤道よりも極側で重力は大きく（約０.５％程度）なっている（地球の半径は極方向よりも赤道方向が長いので、極方向の引力が少し大きい影響も加わっている。）。
  　地球上の重力（Gravity）の平均値は約９８０ガル（Gal）であるが、上記のように全体的には緯度（Latitude）によって規則的に変化している。理論的な式を、緯度を変数として求め、それを重力の理論値として用いることが行われている。その式は国際重力式^*3と呼ばれ、その理論値は重力標準値と呼ばれる。
  　しかし、現実の重力は重力標準値には一致しないのが普通である。従って、重力計で測定した実際の重力の測定値と重力標準値を比較して、その差を重力異常（Gravity Anomaly）^*4と呼んでいる。ただし、同じ基準で比較する必要があるので、まずジオイド（Geoid）面を基準とするように高さの補正を行うが、それはフリー・エア補正（Free-air Correction）と呼ばれ、この補正を行った後に残る差はフリー・エア異常（Free-air Anomaly）と呼ばれる。次に、実際の測定面（測定点を含む水平面）とジオイド面間に存在する物質の影響も補正するが、それはブーゲー補正（Bouguer Correction）と呼ばれ、この補正を行った後に残る差はブーゲー異常（Bouguer Anomaly）と呼ばれる（一般的には、フリー・エア補正とブーゲー補正を行った後に残る差をブーゲー異常と呼ぶ。また、次の地形補正も含めて３種類の補正を行った後の差をブーゲー異常と呼ぶこともある。つまり、重力異常はフリー・エア異常とブーゲー異常の２種類が主なものである。）。もう一つ、地形の影響を除くためには地形補正（Terrain Correction）が行われるが、これは普通の場合には前の２つの補正に比べて小さいので重要ではない。
  　世界的に重力の理論値と実際の観測値が比較された結果、山脈（Mountain Range）のように地形が盛り上がっている付近では、理論値に比べて観測値が小さい傾向が知られるようになり、それを説明するモデルが提案された。２つのモデルがあり、１つは山脈付近の地下には密度の小さい比較的に軽い物質が存在するというものであり（エアリーのモデル、Airy Model：つまり重い物質および軽い物質の２種類で説明するもので、重い物質と軽い物質との境界面は下に凸の面となり上部が軽い物質である）、もう１つは高度の違いに応じて密度が異なり山頂部分では最も軽いというものである（プラットのモデル、Pratt Model：つまり重い物質および密度が連続的に移り変わる複数の種類の軽い物質で説明するもので、重い物質と軽い複数の物質との境界面は平面となり、上部が複数の軽い物質であるが、これは境界面を平面としたいために密度の方を変化させざるを得なかったためである）。現在では、基本的には前者が正しいと考えられている。現実的に、密度が連続的に変化することは考えられない。さらに、下側の物質はマントル（Mantle）に相当し、上側の物質は地殻（Crust）に相当すると考えられている。
  　上記のように、地球の表層部ではマントルの上に地殻が浮いたような状態であり、固体ではあるが浮力（Buoyancy）によって水に浮かぶ氷のイメージに近い。このような現象はアイソスタシー〔Isostasy、地殻の平衡：厳密に言えば、アセノスフェア（Asthenosphere）とリソスフェア（Lithosphere）間の重力に対する平衡の状態を指す〕と呼ばれるが、例えば数万年前に氷床（Ice Sheet）が覆っていた北欧などでは、その氷床が溶けたために軽くなって地殻が現在も上昇し続けていることが知られている。これはアイソスタシーの回復現象（Isostatic Post-glacial Rebound）である。

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  *1　 　F＝G・（M・m／r2） 　ここで、 　F：万有引力の大きさ、 　M、m：物体の質量、 　r：物体間の距離、 　G：万有引力定数 　　　（Gravitational Constant：≒6.67×10-11 m3 s-2 kg-1） 　である。		*3 　γ1967＝978.0318（1＋0.0053024sin2φ−0.0000059sin22φ）　〔gal〕 　ここで、 　γ：重力標準値（この場合は、1967年のもの）、 　φ：緯度 　である。
  *2　 　F＝（m・v2／r）・（r／r） 　ここで、 　F：遠心力（Centrifugal Force）、 　m：回転運動する物体の質量、 　v：回転運動する物体の速度、 　r：回転運動する物体の半径、 　r：物体の回転中心からの距離 　である。	角速度（Angular Velocity）を用いると次のようになる： 　F＝m・ω2・r 　ここで、 　ω＝r×v／r2 　である。	*4 　Δg＝g−γ＋0.3086h−0.0419ρh＋ρT　〔mgal〕 　ここで、 　Δg：重力異常、 　g：測定点における重力の測定値、 　γ：重力標準値、 　h：基準面と測定面（測定点を含む水平面）との間の距離〔m〕、 　ρ：基準面と測定面との間にある物体の密度、 　T：測定面の凹凸などを補正するための地形係数 　である。 また、補正項は、フリー・エア補正項、ブーゲー補正項、地形補正項の順である。

• 『地球の概観：　重力とアイソスタシー』。講義内容は以下について。
  『1.2　重力とアイソスタシー』
  �@重力＝（万有）引力＋遠心力
  　約980 ガル（gal）
  �A国際重力式〔地球楕円体を基準とする重力標準値（γ）；緯度（φ）の値を変数とする〕（1 gal = 1 cm/s² = 10^-2 m/s²）
  　γ1967＝978.0318（1＋0.0053024sin²φ−0.0000059sin²2φ）　　　　〔gal〕
  �B重力異常〔測定値と重力標準値の差；比較のためにフリー・エア補正、ブーゲー補正、地形補正の３つの補正を行う；フリー・エア補正を行った差がフリー・エア異常、フリー・エア補正とブーゲー補正（と地形補正）を行った差がブーゲー異常〕
  　Δg＝g−γ＋0.3086h−0.0419ρh＋ρT　　　　〔mgal〕
  　ここで、Δgは重力異常、gは測定点における重力の測定値、γは重力標準値、hは基準面と測定値（面）との間の距離、ρは密度、Tは地形係数である。また、補正項は、フリー・エア補正項、ブーゲー補正項、地形補正項の順。
  　世界的に地形の高まり（測定点の高度）と重力異常の関係を見ると、フリー・エア異常は高度とは関係せずにほぼゼロ付近の一定値を示し（変動幅は大きいが）、ブーゲー異常は高度が大きくなるにつれてゼロよりも小さくなる（負の大きな値をもつ）傾向を示す。これは、大局的にアイソスタシーが成立していることを意味する（こちらの図を参照）。
  �Cアイソスタシー（地殻の平衡）〔プラットのモデル、エアリーのモデル、エアリーのモデルを改良したもの〕
  　エアリーのモデルを改良したものが最も適切なモデルと考えられる。
• ビデオ『地球の姿』（11分）。
• 配布プリント2枚（番号：２）。出席表。
  【1枚目】
  図2-9、図2-10、表2-6、図2-11、図2-15、表2-8、図2-16、図2-22…『地球をはかる』（67,70,72,76,78,79,87p）
  【2枚目】
  （世界の海底地形）…『世界の変動帯』（口絵）

補足説明

全般	地球科学用語については『地球科学用語集』ページを参照。 単位については『単位について』のページを参照。 地質年代については『地質年代表』のページを参照。

• NHKビデオ『地球の姿』
  『〔内容〕
  １．宇宙から見た地球。今日では人工衛星や宇宙船から丸い地球の姿を見ることが出来る。
  ２．地球が丸いことをはじめて知ったのは、ギリシアの人びとである。月食の欠けて行く影が円になっていることや、遠ざかる船が水平線に沈んでいく様子から考えた。
  ３．エラトステネスは地球の大きさを測った。今のエジプトのアレキサンドリアと約1,000kmはなれたシエネ、今のアスワンで太陽の高度を測った。シエネが90゜、この時、アレキサンドリアは82.8゜、つまり7.2゜の差がある。7.2゜は全円周の1/50だから、これから地球のまわりの長さを知ることができた。
  ４．現在の地球の大きさや形は、くわしい測量により測られている。赤道方向の半長径6378ｋｍ、南北の極の方向の半短径6357kmの、大体南北に少しつぶれた楕円体である。
  ５．地球の質量は引力の強さから求められる。ジョリーが試みた歴史的な実験をアニメーションで示す。大きな二段になった天秤を使い、左、右にm1、m2という同じ重さの球をのせてつりあわす。m2を下の段におろすと地球に近くなるので、右に傾く。そこで左にm3のおもりをおくとつりあう。次にm2の下に大きな質量の球Mを入れこむと、このための引力で右に傾く。これを左にm4のおもりを乗せてつりあいをとる。これからジョリーは地球の重さを考えた。
  ６．地球の重さをはかる計算式を示す。
  ７．現在では、人工衛星の運動から、地球の重さや大きさを正確に測ることが出来るようになった。
  ８．地球の内部について、質量がわかると平均密度（約5.5）が求められ、このことから、中の方には重いものがなければならない。地震波のつたわり方などから構造もわかるようになった。アニメーションや図で示す。
  ９．気象衛星の写真で大気の流れを示す。』

• 重力は『地圏について』のページの『重力』を参照。
• 地球の形と重力については日本測地学会によるCD-ROMテキスト　測地学　WEB版の『第2部　基礎編』を参照。とくに『重力異常』。
• 本教室がある地点の重力値を国土地理院の測地部の『地球の性質をはかる』の『重力』の『重力値計算』から求めると、次のようになる。

  緯度	経度	標高	推定重力値
  34゜23′58″	132゜42′41″	220m	979628.5（05078163）(mGal)

• フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』による説明を参照してください。
  ■Category:重力（Category:Gravitation）／重力（Gravitation）／重力加速度（Acceleration due to gravity）／万有引力（Newton's law of universal gravitation）／万有引力定数（Gravitational constant）／引力と斥力（attraction and repulsion）／重力を説明する古典力学的理論（Mechanical explanations of gravitation）／Category:重力理論（Category:Theories of gravitation）／地球の重力（Gravity of Earth）／アイザック・ニュートン（Isaac Newton）／標準重力（Standard gravity）／遠心力（Centrifugal force）／
  ■重さ（重量）（Weight）／Category:質量（Category:Mass）／質量（Mass）／重力質量⇒質量（Mass）／質量の比較（Orders of magnitude (mass)）／重力単位系（Gravitational metric system）／重量キログラム（Kilogram-force）／ガル（Gal (acceleration)）／（Category:Gravimetry）／重力法（重力測定）（Gravimetry）／重量キログラム（キログラム重、kgf、kgw、Kilogram-force：1 kgf ≒ 9.8 N）／ニュートン（ 1 N = 1 kg・m/s²、Newton (unit)）／
  ■重力異常（Gravity anomaly）／フリーエアー異常（Free-air gravity anomaly）／ブーゲー異常（Bouguer anomaly）／ピエール・ブーゲ（Pierre Bouguer）／
  ■アイソスタシー（Isostasy）／クラレンス・エドワード・ダットン（1841-1912）（Clarence Dutton）／ジョージ・ビドル・エアリー（1801-1892）（George Biddell Airy）／ジョン・ヘンリー・プラット（1809-1871）（John Henry Pratt）／

【重力の緯度による変化】

• 	これは、地球に最もよく似た形（地球楕円体：測地基準システム1980）で計算した（正規重力）、赤道から極までの重力値の変化グラフです。 「赤道」と「極」では、およそ「５Gal」の差があります。 １Gal（ガル） = １cm／sec2 １０-3Gal（0.001Gal) = 1mGal（ミリガル） １０-6Gal = 10-3mGal(0.001mGal) = １μGal（マイクロガル）
  〔国土地理院のホームページの『地球の性質をはかる』の中の『重力』から〕

【重力異常】

• 図3.3　重力異常と地形の高まりの相関．　●は東半球、○は西半球のデータを示す．地形の高まりが、フリーエア異常とは相関がなく、ブーゲ異常と負の相関をもつのは、大局的にアイソスタシーが成立していることを意味する． 杉村ほか（編）（1988）による『図説地球科学』の22頁から

【アイソスタシーのモデル】

• 図11． エアリー・ハイスカネンモデル．	図12． プラット・ヘイフォードモデル．	図13． エアリー・ハイスカネン−プラット・ヘイフォード混合モデル．
  〔日本測地学会によるCD-ROMテキスト　測地学　WEB版の『2-2-3-5.　アイソスタシー』から〕 アイソスタシーのモデル。（c）のモデルが現実に近いと考えられている。

【アイソスタシーの回復現象】

• 図2. （左）最終氷期の氷床の厚さ（m）の変遷。（右）現在のスカンジナビア半島の年間隆起速度（mm/年）。3000m の厚さで覆われていた地域は、今でも年間1cm弱の割合で隆起を続けている。 大久保（HP/2011/4）による『粘弾性−流れる固体』から

参考

【質量と重量】

• 質量（mass）は物体の“重さ”であり、MKS単位系では kg （キログラム）、CGS単位系では g （グラム）で表される。地球上あるいはすべての天体上で同一の量である。一方、重量は重さ（weight）と一般に呼ばれ、物体に作用する重力によって変わる。しかし、地球上ではほぼ一定である（重力の違いは小さいため）。地球上では、質量1kgの物体に約9.8N（ニュートン）の重力がかかるため、重量は1kgw（kilogram-weight）（キログラム重：またはkgf（kilogram-force））の単位で表わす。つまり、質量1kg＝重量1kgwであるが、一般には重量も1kgと表現されることが多い。従って、質量と重量の区別が曖昧な場合も多いが、これらの意味は異なるために注意が必要である。
  なお、1ニュートンは、1キログラムの質量をもつ物体に1メートル毎秒毎秒 (m/s²) の加速度を生じさせる力と定義されており、N = kg・m/s²である。重力はガル（Gal＝cm/s²）で表される加速度の単位を持つ。【リンクはウィキペディア】

【無重力状態（Zero Gravity）】（≒無重量状態、Weightlessness）

• 重力＝（万有）引力とした場合には、重力が天体間の引力のバランスで０になる場所は限られる。しかし、重力＝（万有）引力＋遠心力の場合には、遠心力を変えるなどの方法で、事実上０（＝微小重力）になる場所をつくることはできる。例えば、一般的には、スペースシャトルなどの宇宙船内で発生する例が有名であるが、人工衛星などが自由落下している状態は無重力状態である〔これは、下向きの（万有）引力と外向きの遠心力が釣合った状態と考えることができる〕。同じことが、地表近くでの自由落下などにおいても起こり得るが〔これは、下向きの（万有）引力に対して、下向きに運動することで見かけ上打ち消す方法や、人工的に上向きの遠心力を大きくして下向きの（万有）引力を打ち消す方法等がある〕、ある程度の時間を継続させることは難しい。【リンクはウィキペディア】

【日本列島周辺のフリーエア異常】

• 澤田ほか（2009）による『内部矛盾の少ない日本列島周辺の海上重力データセット』から
  

  第６図 海底地形を考慮した補間をデータ空白域に適用した場合のフリーエア異常． 澤田ほか（2009）による『内部矛盾の少ない日本列島周辺の海上重力データセット』から