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フラクタルとは（Fractal）

フラクタル（Fractal）とは、20世紀になって導入された幾何学（Geometry）の概念（Idea）であり、全体の一部が全体と自己相似（Self-similarity）になっているものなどを指す。自然界（Nature）では様々な多くの例があり、自然界の法則性（Physical Law）を探る手法の一つとして用いられている。主に、コンピュータ（Computer）の発展による寄与部分も大きく、プログラム化（Programming）により理論と現実の検討が行なわれている。また、不規則な変動（Irregular Change）（カオス、Chaos）もフラクタルによる解析（Analysis）が可能な場合が知られ、複雑系（Complex System）の研究に用いられる手法の一つにもなっている。

• 複雑系は『複雑系とは』のページを参照。
  カオスは『複雑系とは』のページを参照。
• 数学は『数学』のページを参照。

【リンク】

• Fractal Links　　http://www.fractalsciencekit.com/topics/links.htm
  　Fractal Science Kit - Fractal Generatorの中のページ。
• Fractal Links　　http://www.fractal.org/Bewustzijns-Besturings-Model/Fractal-Links.htm
  　Fractal.org Centre for Fractal Design and Consultancy Main Indexの中のページ。
• The Spanky Fractal Database　　http://www.nahee.com/spanky/
  　Nahee Enterprisesの中のページ。2010年9月21日。
• Fractal Links　　http://www.mysticfractal.com/Links.html
  　Into the Mysticの中のページ。2008年？。

【フラクタル】

• Category:フラクタル　　http://ja.wikipedia.org/wiki/Category:%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB
  Category:Fractals　　http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Fractals
  　フラクタル（フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念であり、 図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう）
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB
  　Fractal　　http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
  フラクタル幾何　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95
  フラクタル地形　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%9C%B0%E5%BD%A2
  Fractal landscape　　http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape
  コッホ曲線〔スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案したもので、線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である〕
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%9B%E6%9B%B2%E7%B7%9A
  Koch snowflake　　http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
  マンデルブロ集合
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88
  Mandelbrot set　　http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
  シェルピンスキーのギャスケット（シェルピンスキーの三角形、シェルピンスキーのざる）
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%AE%E3%83%A3%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88
  Sierpinski triangle　　http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle
  　メンガーのスポンジ
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%82%B8
  　Menger sponge　　http://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge
• フラクタルとは　　https://kotobank.jp/word/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB-8288
  フラクタル理論とは
  https://kotobank.jp/word/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96-620758
  　コトバンクによる。
• フラクタル（fractal）　　http://kamakura.ryoma.co.jp/~aoki/paradigm/furactal.htm
  　量子論と複雑系のパラダイムの中のページ。『コッホ曲線』・『マンデルブロー集合』も。
• フラクタルの話　　http://hr-inoue.net/zscience/topics/fractal/fractal.html
  　井上　均氏による私編　雑科学ノートの中のページ。
• フラクタル図形とフラクタル次元とは　　 http://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/math/contents/kiroku/Guide/fractdim.pdf
  　奥村善英氏による。13p。
• 【無限に続く合わせ鏡】フラクタルフラクタルフラクタル…　　https://matome.naver.jp/odai/2132659831035762501
  　NAVERまとめの中のページ。2013年8月17日。
• 見つめると引き込まれそうなフラクタル構造を持ったイラストやムービーまとめ
  http://gigazine.net/news/20121225-best-of-fractals/
  　Gigazineの中のページ。2012年12月25日。
• フラクタル図形と数列、自己相似性〜高校レベルの初歩的解説
  http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2012/01/post-275e.html
  　テンメイのRUN＆BIKEの中のページ。2012年1月8日。
• フラクタル-自己相似形とべき乗則 (1/3)　　http://www.itmedia.co.jp/im/articles/1010/18/news130.html
  　河合昭男氏による。2010年10月18日。
• カオス・フラクタル 講義ノート#10　　https://ocw.hokudai.ac.jp/wp-content/uploads/2016/01/ChaosFractal-2009-Note-10.pdf
  　井上純一氏による。2009年6月30日、8p。
• 様々なカオスとフラクタル　　http://www.gavo.t.u-tokyo.ac.jp/~mine/japanese/algo2007/2008-01-24/pie.pdf
  　二之宮弘氏による。2008年？、34p。
• フラクタル科学入門
  http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&ved=0CFYQFjAI&url=http%3A%2F%2Fwww.gifu-nct.ac.jp%2Fsizen%2Fokada%2FHTML_11%2FMathAlacarte2005-11.ppt&ei=lwa9UvjQLIGRkwWMsIC4Bg&usg=AFQjCNGBRNTiDZ8bsYYkj0Ht8Gmd-puzvw&sig2=QVQOCbyTtzV8_Mzh6KiuXg&bvm=bv.58187178,d.dGI&cad=rja
  　鶴見　智氏による。2004年？。スライド62枚。
• ふらくたる　　http://mcm-www.jwu.ac.jp/~physm/buturi01/fra01/index.html
  　日本女子大学数物科学科目白祭の‘01目白祭物理分野研究発表の中のページ。2001年？。
• フラクタル入門(WEB版）　　http://banana.cite.tohoku.ac.jp/topics/fractals/index.html
  　フラクタル　　http://banana.cite.tohoku.ac.jp/topics/fractals/fractal/fractal.html
  　Yoshinori Hayakawa氏による。1998年。
• 複雑系のダイナミクス：フラクタル構造を中心として
  http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/95383/1/KJ00004736490.pdf
  　中山恒義氏による。1994年10月20日、50p。
• Scaling and Fractals　　http://havlin.biu.ac.il/nas1/index.html
  　Shlomo Havlin氏によるスライド27枚。
• Fractal　　http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
  Koch snowflake　　http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
  WolframMathWorldの『Applied Mathematics』の『Complex Systems』の中のページ。2017年4月21日。
• Chaos and Fractals　　https://dmoztools.net/Science/Math/Chaos_and_Fractals/
  　2017年1月27日。
• Fractals　　http://math.rice.edu/~lanius/frac/
  　Cynthia Lanius氏による。2004年1月19日？。

【ソフト】

• Fractal Explorer　　 http://www.fractal-explorer.com/
  　Download　　http://www.fractal-explorer.com/downloads.html
• 13.17. Fractal Explorer　　https://docs.gimp.org/en/plug-in-fractalexplorer.html
  　GIMP Documentationの中のページ。日本語版。
• Fractint　　http://www.nahee.com/spanky/www/fractint/fractint.html
  　The Spanky Fractal Databaseの中のページ。
• Software and Various Items　　http://www.nahee.com/PNL/Fractal_Software.html
  　Paul.N.Lee氏による。

【マンデルブロ】

• ブノワ・マンデルブロ（フランス：1924-2010年）
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%8E%E3%83%AF%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD
  Benoit Mandelbrot　　　https://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot
  マンデルブロ集合　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E9%9B%86%E5%90%88
  Mandelbrot set　　https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
  
• マンデルブロとは　　https://kotobank.jp/word/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD-669652
  マンデルブローとは
  https://kotobank.jp/word/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E3%83%BC-156089
  マンデルブロー，B.B.とは
  https://kotobank.jp/word/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AD%E3%83%BC%2CB.B.-1421491
  　コトバンクによる。
• Benoit B. MANDELBROT　　http://users.math.yale.edu/mandelbrot/
  　2010年3月16日。
• Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness
  https://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness
  　TEDでの講演映像 。2010年2月。
• Last Lights On - Mandelbrot fractal zoom to 6.066 e228 (2^760)　　https://vimeo.com/12185093
  　teamfreshによる。2010年？、動画13：45。

【フラクタル地形】

• フラクタル地形　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E5%9C%B0%E5%BD%A2
  Fractal landscape　　http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_landscape
• フラクタル地形自動生成　　http://qiita.com/keny30827/items/f4e29a4a90779cf94da6
  　Qiitaの中のページ。2016年11月12日。
• 8 三陸海岸の複雑さを測る　　http://www.sit.ac.jp/user/negishi/complex_d.pdf
  　根岸利一郎氏による。2014年？、5p。
• カシミール3Dで見る日本のフラクタルな地形図　　http://osakakoteisa.blog.fc2.com/blog-entry-7.html
  　大阪高低差学会の中のページ。2013年4月1日。
• 厳島の地形とフラクタル次元　　http://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/1/16002/20141016124413796111/nk_sp01_3.pdf
  　於保幸正氏による。2001年3月31日、9p。
• 反復関数集合によるフラクタル画像生成　　http://jp.ricoh.com/technology/techreport/24/fractal/HTML/RTR.HTM
  　浅井貴浩氏による。1998年。
• 地すべり群の地形・地質とフラクタル次元　　http://ffpsc.agr.kyushu-u.ac.jp/control/frac.html
  　久保田哲也とハリ・ラム・シュレスタの両氏による。1997年？。
• 海岸線の長さを測ると？　　http://202.250.123.44/buturi/coastLine/coastLine.html
  　徐　丙鉄氏による。1996年7月16日。『カオス（chaos）』も。
• 数値地形情報に基づく河川流域のフラクタル次元について　　http://library.jsce.or.jp/jsce/open/00028/1991/35-0135.pdf
  　宝　馨氏ほかによる。1991年2月、8p。
• What’s New in Terragen 4　　http://planetside.co.uk/whats-new-in-terragen-4/
  　Planetside Software LLCによる。
  
• How-To 3D Graphic Java: Render fractal landscapes
  http://www.javaworld.com/article/2076745/learn-java/3d-graphic-java--render-fractal-landscapes.html
  　Merlin Hughes氏による。1998年8月1日。

【その他】

• フラクタルアート
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%88
  Fractal art　　http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_art
• 「ベキ関数」から「スモールワールド」へ　　http://sky.geocities.jp/bunryu1011/smallwarld.html
  　上村文隆氏によるはまぐりの数学の中のページ。

• フラクタルの『リンク』はこちらを参照。

【1986】

• 高安（1986）による〔『フラクタル』（5-7p）から〕【見る→】

• フラクタルの『リンク』はこちらを参照。
• マンデルブロの『リンク』はこちらを参照。

【2013】

• ウィキペディア（HP/2013/12）による『フラクタル』から
  

  マンデルブロ集合の2000回拡大 ウィキペディア（HP/2013/12）による『フラクタル』から

【2012】

• ウィキペディア（HP/2012/5）による『フラクタル』から
  

  フラクタルの例（マンデルブロ集合） ウィキペディア（HP/2012/5）による『フラクタル』から

• フラクタルの『リンク』はこちらを参照。

【2012】

• ウィキペディア（HP/2012/5）による『コッホ曲線』から
  

  コッホ曲線の書き方 　コッホ曲線は前に述べたとおり完全なものは作図できない。ただし近似形であれば以下の方法で作図できる。 1.線分を引く。（図左上） 2.線分を3等分し、中央の線分を1辺とする正三角形を描き、下の辺を消す。（図右上） 3.得られた4つの線分に対して同じ操作を繰り返す。（図左下） 4.得られた16の線分に対して同じ操作を繰り返す。（図右下） この操作を無限に繰り返すとコッホ曲線になる。 ウィキペディア（HP/2012/5）による『コッホ曲線』から

• フラクタルの『リンク』はこちらを参照。

【2012】

• ウィキペディア（HP/2012/5）による『シェルピンスキーのギャスケット』から
  

  シェルピンスキーのギャスケット ウィキペディア（HP/2012/5）による『シェルピンスキーのギャスケット』から