高安（1986）による〔『フラクタル』（5-7p）から〕

『1.2　フラクタル

　特徴的な長さをもたない形の例は、積乱雲やコッホ曲線のほかにもたくさん知られている。たとえば、身近なものでは、海岸線や山の起伏や川の形などがそうである。実際、地図や航空写真を見ても、建物や道路などの人工的なものがない限り、その縮尺がどれくらいなのかは見当がつかない場合が多い。それら以外にも、ある種の植物や、動物の体内にある肺や血管などの複雑に枝分かれした構造にも特徴的な長さはない。自然界に存在するものだけではなく、コンピュータによってもこのような図形は、たくさん作り出すことができる。フラクタルとは、これらの、特徴的な長さをもたないような図形や構造、現象などの総称である。このフラクタル（Fractal）という言葉は、マンデルブロ（Mandelbrot, 1924−）が、1975年に新しく作った言葉で1)、語源はラテン語の形容詞fractusである。この語の派生語であるfractional（小数の）やfracture（破砕）などの英単語からも推測できるように、fractusは、物が壊れて不規則な破片になった状態を表わしている。したがって、フラクタルという言葉に対しても、小さな破片や大きな破片がたくさん集まったような状態を思い浮かべておけば、大きな誤解は生じない。しかし、フラクタルという言葉は生まれたばかりであり、また、厳密な定義もないので、細かいニュアンスはフラクタルの専門家の間でも統一されてはいない。本書でも、あまり厳密さにはこだわらずに、全体を通してフラクタルを浮き彫りにしていきたいと思う。
　特徴的な長さをもつ形の大切な性質は滑らかさであることをさきほど述べた。特徴的な長さよりも小さな部分を滑らかに近似しても、全体の特徴を失うことはないからである。これに対し、フラクタルは滑らかさを完全に否定している。いくら拡大してみても、元と同じように複雑なのであるから、接線の引きようがなく、微分が定義できないのである。つまり、フラクタルを考えるということは、どこでも微分が定義できないような形を取り扱うことを意味している。
　微分を否定することは、歴史的には非常に画期的なことであろう。それは、数学、物理学の歴史を振り返ってみても明らかである。古代エジプトにおいて始まった幾何学は、ギリシアで大きく開花したが、当時扱われていた図形はコンパスと定規によって描けるものだけであった。物体を投げたときの軌跡すら、線分と円弧の組合せで表わそうとしていた。もちろん、そこで扱われていた形は滑らかなものばかりであった。ニュートン以降、微積分と幾何が結びつき、より複雑な形を正確に表わすことが可能となった。現在においては、微積分の重要性はきわめて大きく、それなしでは物理学の大部分が基盤を失ってしまうおそれすらある。非常に美しく、一般性の高い理論として有名な重力の理論*でさえも、小さな領域では空間をまっすぐであると近似できることを、大前提としている。したがって、フラクタルはそういう理論体系にはなじまない。我々がこれから扱おうとしているフラクタルは、そういう意味で、まったく新しいものの見方を要求しているのである。
　*アインシュタイン（Einstein, 1879−1955）によって1916年に発表された一般相対性理論のこと。彼は、時空が連続的で滑らかな実数の４次元空間であること、物理法則は座標変換によって変化すべきでないこと、重力は空間のゆがみによって生じること、などの基本的な仮定から演繹的に理論を作り上げた。宇宙の膨張、ブラックホール、重力波などは、この理論をもとに解析される。
　これまでの物理学は、大きな極限である宇宙と小さな極限である素粒子の解明にたくさんのエネルギーを費やし、多くの知識を得てきたが、我々の日常生活になじみの深い中位の大きさの現象については、あまり深い考察がなされているとはいいがたい。これは、けっして中位の現象がおもしろくないためではなく、大きな極限や小さな極限の方がものごとが考えやすくなるためであろう。宇宙や素粒子には特徴的な大きさというものがあると期待されるので、その特徴的な大きさのものだけを残して、他を無視してしまうような近似が使えるからである。それに対し、中位の大きさの現象は、本質的に多体系であって、たくさんのものが複雑に相互作用し合っており、しかも特定の相互作用だけを取り出したのでは大切な性質を見失ってしまうことが多い。そこでは解剖学的な方法はほとんど無力なのである。人間の複雑微妙な心理を解明しようとするときに、メスや顕微鏡が役に立たないのと同じことである。そして、精神分析学が人間の心理の解明に大きなてがかりを与えてくれたように、フラクタルの考え方が中位の大きさの複雑な現象の解明への重要な鍵となることが、期待されている。
　フラクタルの考え方の基本は、特徴的な長さのなさ、あるいは、自己相似性であるが、そういう見方は以前から気づかれていた。たとえば、寺田寅彦（1878−1935）は金属やガラスの割れ目を観察しているときに次のようなことを述べている2)。
「面白いことに、その円錐形のひびわれを、毎日のやうに顕微鏡で覗いて見てゐると、それが段々に大きなものに思はれて、今では一寸した小山のやうな感じがする。…それが益々大きなものに見えて来るのである。実際此山の高さは一分*の三十分の一よりも小さなものに過ぎない…。」
　*尺貫法で1寸の10分の1の長さのこと。約3mm。

　彼は、このように小さな世界と大きな世界の類似性を見出しているが、残念ながらそれを発展させることはできなかった。自己相似性の考え方を発展させるためには、定性的な記述に留まらずに、定量化、可視化することが必要だったのである。
　フラクタルを定量的に表わす量は、次節で導入するフラクタル次元であるが、その考え方のもととなったハウスドルフ次元は、いまから1世紀ほども前に生み出されていた。それを自然界に存在するものに適用しようとした点が、マンデルブロの偉大な飛躍であった。フラクタルを感覚的に把握するためには、可視化することが不可欠であるが、それはコンピュータなしでは、ほとんど不可能である。フラクタルは解析学の最大の武器である微分を放棄してしまっているので、それを補うためにもコンピュータによる数値解析やシミュレーションが不可欠である。フラクタルは、コンピュータによって育てられている、といっても過言ではないだろうし、コンピュータの進化とともにフラクタルの理論も成長していくことが十分に期待される。現代のテクノロジーの最先端であるコンピュータを駆使して、これまでの自然科学が敬遠していた荒地を開拓しようとしているのがフラクタルである。』

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