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統計学−統計学−

最終更新日：2017年4月26日

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• 統計学の『リンク』はこちらを参照。

【2013】

• 菅（2013）による『Excelで学ぶ統計解析入門』から（リンクはウィキペディア）
  

  基本統計量の種類 基本等計量 代表値 平均値 算術平均（相加平均）　m ＝Σxi ／N ここで、x1 ，x2 ，x3 ，…，xN はデータ、N はデータ数。 幾何平均（相乗平均）　mg＝（x1 ×x2 ×x3 ×…×xN ）1/N 調和平均　mh＝1／〔Σ（1/xi ）／N 〕＝N ／Σ（1/xi ） 中央値（メディアン） 奇数　md ＝xm　　　m＝（N ＋1）／2 偶数　md ＝（xm ＋xm+1 ）／2　　　m ＝N ／2 ここで、xm はm 番目のデータ。 最頻値（モード） 　 比率（割合） P ＝C ／N ここで、C は該当数、N は総数。 散布度 偏差平方和 S ＝Σ（xi −m ）2 分散 V ＝S ／n ＝Σ（xi −m ）2／n 部分の場合は分母はn −1（不偏分散）。 標準偏差 σ ＝V 1/2＝〔Σ（xi −m ）2／n〕1/2 変動係数 CV ＝σ ／m 1.0を上回ると、データのバラツキ大きい集団。 パーセンタイル、四分位偏差 P ％のパーセンタイルをA とし、n がデータ数のとき、（n ＋1）×P ／100の整数部をq および小数部をr として、データを小さい順に並べたときのq 番目とq＋1 番目のデータをDq とDq＋1 で表せば、 A ＝Dq ＋（Dq+1 −Dq ）×r このとき、四分位偏差は Q ＝第3四分位点−第1四分位点 　データを昇順で並べたとき、小さいほうから数えて全体のP％に位置する値がパーセンタイル。小さいほうから25％・75％％・50％に位置するパーセンタイルを、それぞれ第1四分位点・第3四分位点・中央値と呼ぶ。 レンジ R ＝最大値−最小値 歪度 G =〔n ／(n−1)(n −2)〕Σ〔（xi −m ）／σ〕3 　分布のゆがみ（峰が左より、右より、など）を示す。 尖度 H ＝〔n （n ＋1）／（n −1）（n −2）（n−3）〕Σ〔（xi −m ）／σ〕4−3（n−1）2／（n −2）（n−3） 　分布のとがり（正規分布より、尖っているか扁平か、など）を調べる。 分布 度数分布 　 階級ごとの度数の分布。 ヒストグラム 　 ヒストグラムや度数多角形で表示。 クロス集計 （分割表、ピボットテーブル） 数量クロス集計 カテゴリーデータと数量データの関連。 件数クロス集計 カテゴリーデータとカテゴリーデータの関連。 統計量要約グラフ 誤差グラフ 平均値・標準偏差あるいは標準誤差（標準偏差／n 1/2）。 箱ヒゲ図 中央値・最大値・最小値・上ヒンジ（第3四分位点）・下ヒンジ（第1四分位点）。 （ローソク足チャート） 　 パレート図 棒グラフと折れ線グラフを組み合わせた複合グラフ。 データの位置 基準値 Z ＝（xi −m ）／σ 偏差値 H ＝10×Z ＋50＝〔10×（xi −m ）／σ 〕＋50 　 相関分析 基本解析 相関係数 データの種類 数量データと数量データとの関係 散布図 単相関係数 数量データとカテゴリーデータとの関係 カテゴリー別平均 相関比 カテゴリーデータとカテゴリーデータとの関係 クロス集計 クラメール連関係数 単相関係数 r ＝Sxy ／（Sxx ×Syy ）1/2 直線回帰式 （回帰分析） 直線　y ＝ax ＋b　　a ＝Sxy ／Sxx 　　b ＝y （頭に−）−ax （頭に−） ここで、Sxy は積和、Sxx は変数x の偏差平方和、y （頭に−）は変数y の平均、x （頭に−）は変数x の平均。 決定係数（寄与率） R 2＝1−（Se /Syy ） ここで、Se は残差平方和、Syy は変数y の偏差平方和。 菅（2013）による『Excelで学ぶ統計解析入門』から（リンクはウィキペディア） （株）イスタットによる無料ソフトウェアを参照。

【2012】

• 菅（2012）による『Excelで学ぶ実験計画法−シックスシグマと重回帰分析−』から（リンクはウィキペディア）
  

  統計の基礎知識 1　統計学で用いるデータの種類 数量データ 平均値 カテゴリーデータ（分類データ） 比率（割合） 2　記述統計学 基本統計量（要約等計量） 代表値 平均値 中央値（メディアン） 散布度 分散 標準偏差 尖度（とがり） 歪度（ゆがみ） 公式 偏差平方和 S ＝Σ（xi−m ）2 ここで、x1，x2，x3，…，xi，…はデータ、 m は平均（算術平均）。 分散 V ＝S／n ＝Σ（xi−m ）2／n ただし、母集団ではなく一部のときは、n の代わりにn -1を使用（不偏分散） 標準偏差 σ＝（V ）1/2＝〔Σ（xi−m ）2／n〕1/2 変動係数 CV ＝σ／m 歪度（わいど、Skewness） G =〔N ／(N −1)(N −2)〕Σ〔（xi −m ）／σ〕3 ここで、N はデータ数。 G が0のときは正規分布。 尖度（せんど、Kurtosis） H ＝〔N （N ＋1）／（N −1）（N −2）（N −3）〕Σ〔（xi −m ）／σ〕4−3（N −1）2／（N −2）（N −3） H が0のときは正規分布。 3　クロス集計 数量クロス集計 カテゴリーデータと数量データの関連 　 件数クロス集計 カテゴリーデータとカテゴリーデータの関連 　 　 4　個々のデータの位置を知る 公式 基準値（normalize score）（standard score） Z ＝（xi−m ）／σ ここで、xi はi 番目のデータ。 5　相関分析 公式 単相関係数 r ＝Sxy ／（Sxx ×Syy ）1/2 ここで、Sxx とSyy ）はそれぞれx とy の偏差平方和、Sxy は積和。 　 分析者が経験的な判断から決めるが、本書の著者の定義は以下のとおり： r が0.9以上 非常に強い相関 相関あり r が0.7以上0.9未満 やや強い相関 r が0.5以上0.7未満 やや弱い相関 r が0.5未満 非常に弱い相関 相関なし 6　正規分布（ガウス分布） 　 区間〔m −σ，m＋σ 〕 確率は約0.68 区間〔m −2σ，m＋2σ 〕 確率は約0.95 区間〔m −3σ，m＋3σ 〕 確率は約0.997 標準正規分布 基準値による相対度数が正規分布であるとき 7　母集団と標本 母集団と標本 母集団 標本（サンプル） 母集団サイズ N 標本サイズ n 母平均 m 標本平均 x （頭に−） 母分散 V ＝σ2 標本分散 U ＝u 2 母標準偏差 σ 標本標準偏差 u 母比率 P 標本比率 P （頭に−） 　 　 　 t 分布 （スチューデントのt 分布） Ti ＝（xi （頭に−）−m ）／（ui ／n 1/2） n が100以下のとき。（それ以上では標準正規分布） χ 2分布 Ti ＝S ／σ 2 n　が30以下のとき。（それ以上では正規分布） F 分布 Ti ＝u1 2／u2 2 ここで、u1 とu2 は、それぞれ集団1と集団2の標本分散。 P 値（有意確率） 分布（標準正規分布、t 分布、χ 2分布、F 分布、など）とT から、上側確率P を決定。 上側確率P （両側確率2P ） 　 判定マーク ≦0.01 有意水準1％で「差がある」「関連がある」 [**] ≦0.05 有意水準5％で「差がある」「関連がある」 [*] ＞0.05 有意水準5％で「差があるとはいえない」「関連があるとはいえない」 [　] 8　統計的推定 公式（母平均の推定） 　 サイズ 平均 標準偏差 　 母集団 N m σ σ の分母はN 標本 n x （頭に−） u u の分母はn−1 有意水準 信頼度（％） 推定の係数 推定の係数 α 100（1−α ） Z （α ／2） t （n −1，α ／2） 0.01 100（1−0.01）＝99 Z （0.005）＝2.58 n の値により異なる 0.05 100（1−0.05）＝95 Z （0.025）＝1.96 　 サイズが大きい （無限母集団） サイズが小さい （有限母集団） Z 推定　 n ≧100 x （頭に−）±Z （α ／2）〔u ／（n ）1/2〕 x （頭に−）±Z （α ／2）〔u ／（n ）1/2〕×〔（N −n ）／（N −1）〕1/2 t 推定　 n ＜100 x （頭に−）±t （n −1，α ／2）〔u ／（n ）1/2〕 x （頭に−）±t （n −1，α ／2）〔u ／（n ）1/2〕×〔（N −n ）／（N −1）〕1/2 ・母集団が正規分布に従う場合 ・標準正規分布を利用するものがZ 推定で、t 分布を利用するものがt 推定 ・サイズ100,000以上の有限母集団は「サイズが大きい」とみなす ・母標準偏差σ が既知であれば、サンプルサイズにかかわらずZ 推定を適用 9　統計的検定 （1標本：1集団） 公式（母平均の検定） 　 サイズ 平均 標準偏差 比較値　mo 母集団 N m σ σ の分母はN 標本 n x （頭に−） u u の分母はn−1 帰無仮説 m ＝mo 　 対立仮説 m ≠mo 両側検定 m ＞moまたはm ＜mo 片側検定 　 統計量T 標本サイズ 棄却域 T ＝（x （頭に−）−mo ）／（u ／n 1/2） Z 検定　 n ≧100 両側検定 ｜T ｜≧Z （α ／2） 片側検定 右側 T ≧Z （α ） 左側 T ≦−Z （α ） t 検定　 n ＜100 両側検定 ｜T ｜≧t （f ，α ／2） 片側検定 右側 T ≧t （f ，α ） 左側 T ≦−t （f ，α ） 　　　　　　　　 公式（棄却域） 　 有意水準 0.01 0.05 Z 検定 両側検定 Z （α ／2）＝Z （0.005）＝2.58 Z （α ／2）＝Z （0.025）＝1.96 検定片側 Z （α ）＝Z （0.01）＝2.33 Z （α ）＝Z （0.05）＝1.64 t 検定 両側検定 n ＝20（例） t （f ，α ／2）＝t （f ，0.005） t （19，0.005）＝2.861 t （f ，α ／2）＝t （f ，0.025） t （19，0.025）＝2.093 検定片側 n ＝20（例） t （f ，α ）＝t （f ，0.01） t （19，0.01）＝2.539 t （f ，α ）＝t （f ，0.05） t （19，0.05）＝1.729 ・両側0.5％点、片側2.5％点、上側1％点、上側5％点と呼ぶ ・ｆ は自由度であり、f ＝n −1 ・有意水準0.01で有意差があれば、**を付ける 　有意水準0.05で有意差があれば、*を付ける 　優位水準0.05で有意差がなければ、何も付けない （母分散の検定） 帰無仮説 母分散＝σo2 　 対立仮説 母分散≠σo2 両側検定 母分散＞σo2または母分散＜σo2 片側検定 統計量T 棄却域 T ＝S ／σo 2 ここで、σo 2は比較値。 両側検定 T ＞χ 2（n −1 ，α ／2）あるいは T ≦χ 2（n −1 ，1−α ／2） 片側検定 右側 T ≧χ 2（n −1 ，α） 左側 T ≦χ 2（n −1 ，1−α） （棄却域） 　 有意水準 0.01 0.05 両側検定 n ＝40（例） χ 2（f ，α ／2）＝χ 2（39，0.005）＝65.48 χ 2（f ，α ／2）＝χ 2（39，0.005）＝65.48 検定片側 n ＝40（例） χ 2（f ，α）＝χ 2（39，0.01）＝62.43 χ 2（f ，α）＝χ 2（39，0.05）＝54.57 10　統計的検定 （2標本：2集団）　 公式（母平均の差の検定） 　 サイズ 平均 標準偏差 母集団 N1　　N2 m1　　m2 σ1　　σ2 標本 n１　　n2 x 1（頭に−）　x 2（頭に−） u1　　u2 帰無仮説 m1 ＝m2 　 対立仮説 m1 ≠m2 両側検定 m1 ＞m2 またはm1 ＜m2 片側検定 　 統計量 n１＋n2 棄却域 Z 検定 T ＝（x1 （頭に−）−x2 （頭に−））／（u1 2/n1＋u2 2/n2）1/2 ≧100 両側 ｜T ｜≧Z （α ／2） 片側 右側 T ≧Z （α ） 左側 T ≦−Z （α ） t 検定*1 T ＝（x1 （頭に−）−x2 （頭に−））／（u2/n1＋u2/n2）1/2 u 2＝〔（n1 −1）u1 2＋（n2 −1）u2 2〕／（n1 ＋n2 −2） ＜100 σ1 ＝σ2 両側 ｜T ｜≧t （f ，α ／2） 片側 右側 T ≧t （f ，α ） 左側 T ≦−t （f ，α ） 　 ウェルチ検定*2 T ＝（x1 （頭に−）−x2 （頭に−））／（u1 2/n1＋u2 2/n2）1/2 母分散未知 ＜100 両側 ｜T ｜≧t （f ，α ／2） 片側 右側 T ≧t （f ，α ） 左側 T ≦−t （f ，α ） *1　ただし、f ＝n1 ＋n2 −2 *2　ただし、f ＝（u1 2/n1＋u2 2/n2）2／〔u1 4/n1 2（n1 −1）＋u2 4/n2 2（n2 −1）〕 〔母平均の差の検定（対応のある場合）〕 　 サイズ 平均 標準偏差 母集団 N m σ 標本 n x（頭に−） u 帰無仮説 m＝0 　 対立仮説 m≠0 両側検定 m＞0またはm＜0 片側検定 統計量 n 棄却域 T ＝x（頭に−）／u/n1/2 　ただし、f ＝n −1 任意 両側 ｜T ｜≧t （f ，α ／2） 片側 右側 T ≧t （f ，α） 左側 T ≦−t （f ，α） 母分散比の検定 帰無仮説　母分散 σ1 2＝σ2 2 　 対立仮説　母分散 σ1 2≠σ2 2 両側検定 σ1 2＞σ2 2またはσ1 2＜σ2 2 片側検定 統計量 棄却域 T ＝u1 2／u2 2 　ただし、u1 2，u2 2は標本分散。 両側 T＞F （n1 −1，n2 −1，α ／2）または T＜F （n1 −1，n2 −1，α ／2） 片側 右側 T＞F （n1 −1，n2 −1，α） 左側 T＜F （n1 −1，n2 −1，α） 菅（2012）による『Excelで学ぶ実験計画法−シックスシグマと重回帰分析−』から（リンクはウィキペディア）

【2011】

• ウィキペディア（HP/2011/10）による『統計学』から
  

  統計学の用語 ●要約統計量 　○平均、最頻値（モード）、中央値（メジアン）、分散、標準偏差、共分散、相関係数 ●正規分布 　○カール・フリードリヒ・ガウス（誤差論） 　　・誤差 　○標準得点 　　・偏差値 ●大数の法則、中心極限定理 　○推計統計学 　○母集団、無作為抽出(ランダムサンプリング) 　○期待値、不偏分散 　○有意 　○尤度関数 ●多変量解析 　○回帰分析、重回帰分析 　○因子分析 　○主成分分析 　○判別分析 　○共分散構造分析 　○数量化理論 実験計画法 統計母集団／サンプリング／層化抽出法／反復／ブロック化 標本推定 帰無仮説／対立仮説／第一種過誤と第二種過誤／統計的検出力／効果の大きさ 記述統計学 連続データ 位置 平均（算術、幾何、調和）／中央値／最頻値 分散 範囲／標準偏差／変動係数／百分率 モーメント 分散／歪度／尖度 カテゴリデータ 頻度／分割表 統計的推測 ベイズ推定／仮説検定／有意性／Z検定／スチューデントのt検定／カイ二乗検定／F検定／有意／区間推定／最尤度／最小距離／メタアナリシス／信頼区間 生存時間分析 生存時間関数／カプラン−マイヤー推定量／ログランク検定／故障率／比例ハザードモデル 相関 交絡変数／ピアソンの積率相関係数／順位相関（スピアマンの順位相関係数、ケンドールの順位相関係数） 線型モデル 一般線型モデル／一般化線型モデル／分散分析／共分散分析 回帰分析 線形回帰／非線形回帰／ロジスティック回帰 統計グラフィックス 棒グラフ／バイプロット／ボックスプロット／管理図／森林プロット／ヒストグラム／Q-Q プロット／ランチャート／散布図／幹葉図 歴史 統計学歴史／統計学の創始者／確率論と統計学の歩み 応用 社会統計学／生物統計学／統計力学／計量経済学 出版物 統計学に関する学術誌一覧／重要な出版物 カテゴリ ウィキペディア（HP/2011/10）による『統計学』から